Das Ziegen-Problem, eine Simulation

Home sweet home
Das Ziegen-Problem oder Monty-Hall-Problem machte gegen Ende des letzten Jahrhunderts (19??) einen ziemlichen Wirbel. Eine Journalisten namens Savant äußerte sich anläßlich eines amerikanischen Quiz zu einem Wahrscheinlichkeitsproblem. Viele durchaus kluge Menschen waren der Ansicht zu dem Thema beitragen zu müssen:
  1. viele mischten sich ein
  2. die Mehrzahl irrte sich, darunter auch einige berühmte Mathematiker ... (s. Wikipedia)
  3. Frau Savant behielt recht, meiner Meinung nach, auch wenn teilweise gesagt wird, dass die Voraussetzungen nicht ganz klar dargestellt waren

Zum Problem

Das Ziegen-Problem: Ein Moderator zeigt Ihnen 3 Tore, hinter einer ist ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege. Der Moderator weiß hinter welchem Tor das Auto steht.
Sie wählen ein Tor und anschließend öffnet der Moderator eines der anderen Tore (er muss) und zeigt Ihnen, dass eine Ziege dahinter ist. Er wählt dabei das Tor ohne Vorlieben, also zufällig.

Sie haben die Möglichkeit bei Ihrem Tor zu bleiben, oder aber zum verbleibenden geschlossenen Tor zu wechseln.

Damit stellt sich die Frage:

Sollte man wechseln oder bleiben?

Mathe-Spoiler
Mathematisch zeigt sich: Man sollte wechseln, die Wahrscheinlichkeit für das Auto steigt von 1/3 auf 2/3. (Vor Beginn der Aktion ist P(Auto hinter Tor) = 1/3. Also P(Auto hinter Tor 1 oder 2)=2/3. Dies ändert sich nicht durch das Eingreifen des Moderators, nur sinkt die Wahrscheinlichkeit für das Tor, das er öffnet nun mal auf 0. Wer es nicht glaubt, ist/war in bester Gesellschaft. Vielleicht hilft es länger nachzudenken, vielleicht auch mal die Situation mit 100 Toren, einem Auto und 98 durch den Moderator geöffneten Toren zu überdenken.

Alternativ - es ist ein typisches Problem bedingter Wahrscheinlichkeit, Bayes lässt grüßen. Wird z.B. Tor 1 gewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit die bedingte Wahrscheinlichkeit P( Tor 2 ist richtig | Moderator öffnet Tor 3) gesucht.
Wer Mathe im Abi hat, sollte versuchen die Aufgabe mit Hilfe von Bayes zu knacken. Spannend wird es wenn der Moderator auch noch eine Vorliebe für ein Tor hat - also z.B. immer wenn Tor 3 frei ist, Tor 3 öffnet, außer dort ist das Auto. Irgendwo liegen die Berechnungen, aber wo nochmal ...

Simulation
Das folgenden Programm bietet diese Möglichkeiten:

reset alles zurücksetzen, die Zahl der Versuche wird auf 1000 gesetzt, kann nachträglich verändert werden
run der Rechner führt das Experiment so oft durch, wie im entsprechenden Feld angegeben - Unterbrechung per stop möglich. Der Spieler wird nicht aktualisiert.
stop run Modus stoppen, man kann sich Zwischenergebnisse anschauen
step falls nicht im run-Modus: man führt das Experiment ein weiteres mal durch. Die Taste muss zweimal gedrückt werden, um einen Durchlauf zu machen. Auch hier werden die Spielerdaten nicht aktualisiert.
Karte anclicken wenn man nicht im Run-Modus ist, entscheidet man sich so bei geschlossenen Toren für ein manuelles Spiel, d.h. danach öffnet der Moderator und man muss entscheiden, ob man wechseln möchte. Hier werden die Daten für den Spieler aktualisiert.
Anzahl Rateversuche:    
 
  hmmm hmmm hmmm
 
  Ziege Auto  
  absolut relativ (%) absolut relativ (%)
Spieler
Bleiber
Wechsler
Karsten Römke (k Ponkt roemke at gmx in de), Rechtliches, Datenschutz, etc.
Rein private Seite, lediglich eine Spielerei
Last modified: 2010-01-13
Created: 2003-04-08
Reason: just for fun
Home sweet home